题目内容

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

题解

根据动态规划思想，有如下内容：
一、状态表示 f(i,j)
1、本题的相关集合：所有只从前i个物品中选，总体积不超过j的方案的集合
2、本题的相关属性：最大价值
二、状态计算
1、枚举状态

• 状态1：在f(i,j)中，所有仅选择0个第i个物品的方案的集合
• 状态2：在f(i,j)中，所有仅选择1个第i个物品的方案的集合
• 状态3：在f(i,j)中，所有仅选择2个第i个物品的方案的集合
• …
• 状态k：在f(i,j)中，所有仅选择k个第i个物品的方案的集合
  2、最终计算
  将上述的k个状态分别求出来最大价值，在其中求最大即为答案。
  f(i, j) = max(f(i-1,j), f(i-1,j-Vi)+Wi, f(i-1,j-2Vi)+2Wi, …)
  又由于：
  f(i, j-Vi) = max(f(i-1,j-Vi), f(i-1,j-2Vi)+Wi, …),与f(i, j)仅差一个Wi，因此，可推导出最终递推公式：
  f(i, j) = max(f(i-1,j),f(i, j-Vi)+Wi)

代码

/*
1、01背包:  f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w)
2、完全背包:f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w)
*/

//朴素做法
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

//优化
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}