题目内容

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

题解

本题是将多重背包问题拆分成为01背包问题。思路如下：
因为每种物品，假设为第i件物品，有s[i]个，那么将之看做有s[i]个物品，那么总体就一共有Σ(i=0,…,n)s[i] 个物品，这样就转化为了每个物品仅可用一次的01背包问题。但是，由于按照这种思路拆分非常麻烦，根据题目中给出的数量，若有1000件物品，每件物品有2000个，那么最多一共2000000个物品，按照体积最大计算，复杂度在10的9次方左右，在C++中会溢出。因此需要采用一种2进制的拆分方法。

二进制拆分方法的原问题如下：
给定任意一个数，问最少可以将其分成多少个数，且每个数可选可不选，将从0至该数的内的任何数进行表示。

假设s为给定数字，那么最少需要log以2为底的s的对数（向上取整）个数来参与表示。同时，给出两个例子，来让大家辅助思考。
例子1：
s=7,最少需要有3个数表示，分别为1，2，4
0=三个数不选
1=1
2=2
3=1+2
4=4
5=1+4
6=2+4
7=1+2+4

例子2：
s=10,最少需要4个数表示，分别为1，2，4，3 （因为1，2，4可以表示0-7，那么再加上3就可以表示0-10的数了）
8=1+3+4
9=2+3+4
10=1+2+3+4

这里补充一个小常识，在C++中一秒大概完成10的7次方次的操作，根据此可以对自己算法的复杂度进行估计。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

const int N = 2010;

int n,m;
int f[N];

struct Good
{
    int v,w;
};

int main(){
    vector<Good> goods;
    
    cin >>n >>m;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int v,w,s;
        cin >> v >> w >> s;
        for(int k = 1; k <= s; k*=2){
            s-=k;
            goods.push_back({v*k,w*k});
        }
        if(s > 0) goods.push_back({v*s,w*s});
    }
    for(auto good:goods){
        for(int j = m; j>=good.v; j--)
            f[j] = max(f[j],f[j - good.v]+good.w);
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}